第十回:割圓不盡十指磨出血,周率可限青史標美名

第十回:割圓不盡十指磨出血,周率可限青史標美名

——圓周率是怎樣算出來的?卻說那次祖沖之在戴法興的壽宴上測報月蝕,得罪了這個權臣,自覺在京城不好存身了,便應邀到南徐州(今江蘇鎮江)作了刺史劉延孫的助手。好在這個職務比較清閒,他便把大部分時間維續用來研究天文曆法。積三年之辛苦,於公元426年(大明六年)他終於搞出一部比較科學的《大明歷》呈獻給孝武帝,請求頒用。不想那個戴法興從中作梗,不但新曆法不能頒行,到大明八年,就連他當刺史助理的官職也被革去了。

祖沖之賦閒在家,心裡鬱憤難平。他深感當時的世道要幹成一件事實在難。可他想自己才36歲,難道此生就這樣一事無成?於是就想搞點與政界牽涉不大的事-研究數學。他先為古代數學名著《九章算術》作了注。《九章算術》成書於公元四、五十年間,集我國古代數學之大成,歷代有不少人曾為它作注,但都碰到一個難題:那就是圓周率(現在叫π,它是圓周和直徑之比)。很古時候,人稱“徑一週三“,即π=3。王莽新朝時精確到3.1547,東漢時張衡又精確到3.1466,三國時劉徽為《九章算術》作注,則認為最精確的應是3.14。四百多年來眾說不一。

祖沖之一接觸到圓周率問題,便被困擾得坐臥不安。他的住所裡,雪白的粉牆上,畫了一個大大的圓圈,地上也是大圈套小圈,桌上到處是紛亂的稿紙。他背著手在房間裡踱來踱去,一會兒好像自己走進了牆上那個大圓圈中,一會又好像桌上那一堆圓圈一齊湧進自己的腦子裡,如亂麻一團。唉,這周徑之比是如何得出的呢?他又回到桌前抽出劉徽注的那本《九章算術》坐下來邊讀邊想。

這時屋裡還有一個十三、四歲的男孩,他是祖沖之的兒子,叫祖曬。別看他小小年紀,卻天資聰穎,戲耍之餘常愛在父親身邊推算那些數字和圖形。今天他看到地上這許多圓圈感到很新鮮,便單腿在地上跳起圈來。突然聽到父親拍案喊道:“有了!”將他嚇了一跳,忙跑過去垃看父親的衣袖問道:“甚麼有了?”“辦法有了。曬兒,你看劉徽這裡不是明明寫著割圓術嗎?只要將一個圓不斷地割下去,內接上正多邊形,求出多邊形的周長,不就有了圓周率了嗎?曬兒,你會嗎?”

“我會,用爸爸教過的勾股定理一一去求就是了。“

“道理簡單,算起來可就費動了。從今天起,咱爺兒倆就來辦這件事,你可要十分仔細啊。“

說完,祖沖之到院裡搬來幾根大竹子,操起一把刀破成細條,又一一斬成短截,整整干了兩天,地上堆起了一座竹棍的小山。現在聽起來奇怪,搞計算怎麼先幹起竹木活來?原來,當時既沒有阿拉伯數字可以筆算,也沒有算盤可以珠算。運算全靠一種叫算籌的原始工具。它是用竹木削成的一根根小棍,用來拼擺成各種數字。數字縱橫兩式,個位、百位、萬位用縱式,十位、千位用橫式。一切加、減、乘、除全靠用這些木棍在桌上擺來擺去。今天遇到這麼大的算題,平時的那些算籌哪裡夠用?

再說,祖沖之將這一切準備停當之後,便在當地畫了一個直徑為一丈的大圓,將圓割成六等分,然後再依次內接一個12邊形、24邊形、48邊形……他都按勾股定理用算籌擺出乘方、開方等式,一一求出多邊形的邊長和周長。你想這祖沖之何等聰明,他知圓周率是周長與直徑之比,所以就把直徑定為一丈,這樣就省掉再除一次的程序,不斷求出多邊形的周長,也就不斷逼近圓周率了。祖曬也在那個大圓圈裡跳進跳出地幫他拿算籌,記數字。就這樣直算得月落鳥啼,直算得鶴鳴日昇,那竹棍擺成的算式從桌上延到地下,又滿地轉著圈子,一屋上下全都是些竹碼子。這批算籌又都是些新破的竹子,還沒有來得及打磨,祖沖之用手捏著、想著、擺著,不消幾日,漸漸指頭都被磨破,那綠白相間的新竹竟染上了紅紅的血印。

正是:

公式定理雖無聲,原來卻是血凝成,莫言數字最枯燥,多少前人拚博情。

他們父子這樣不分晝夜地割供算商。這天,他們割到第96份,真是如攀險峰,愈登愈難。當年劉征就是到此卻步,而將得到的3.14定為最佳數據。夜靜更深,小祖曬早已眼皮沉重,東倒西歪地想睡了。祖沖之想,這些日子也實在辛苦了這孩子,便忙打發他去睡覺。他推開窗戶,深吸了幾日這建康城裡夜深時分甜甜的空氣,看了一回星空,又轉過身來看看當地那個大圓。那內接的96邊形,與圓都快接近於重合了。按說能算到這一步已經實在不易,用這個數字再去為《九章算術》作注,也就完全可以了。他用拳頭捶了捶酸困的後腰,又摸摸纏了布條的手指,向牆邊的書架踱去,忽然背後唰啦啦一陣響聲。他猛一回頭,哎呀!原來剛才末關窗戶,一陣夜風吹起窗幔,把竹籌擺起的許多算式掃得七零八落,拋灑一地。這式子剛擺完還沒有來得及驗算,也未抄下得數。要知每算一遍就要進行十一次加減乘除和開方,多麼繁重的勞動啊!祖沖之一下撲在地上,用還滲著血的十指捧起一掬算籌,對著深邃的夜空,低聲喊道:“老天啊!你也和戴法興一樣,如此欺人。”他一甩衣袖,索性將桌上的殘式全部拂去。又重新擺佈起來。就這樣不知又過了多少天,只知花開花落,月缺月圓,父子倆把地上那個大圓直割到24576份,這時的圓周率已經精確到3.14159261。祖沖之知道這樣不斷割下去,內接多邊形的周長還會增加,更接近於圓周,但這已到了小數點後第八位,再增加也不會超過0.00000001丈,所以圓周率必然是3.1415926<π<3.1415927。當時祖沖之就把圓周率定在“上下二限“之間。這上下限的提法確是祖沖之首創,他得出的圓周率精確值在當時世界上已遙遙領先,直到一千年後才有阿拉伯數學家阿爾卡西的計算超過了他。所以國際上曾提議將圓周率命名為“祖率”。這都是後話。

還說當時,經過無數個日夜奮戰,圖形遍地,算籌成堆,祖沖之終於算出了新的圓周率。這天他興致極好,便帶著兒子祖日桓出了都城,到郊外一座小山上的寺院裡吃酒、訪友、散散心。他邊走邊說:“曬兒,這圓周率在天文、歷算、測地、繪圖上處處都要用到,前面的幾位數字你可要牢牢記熟。”小祖曬手裡拿著一枝野花,揚起稚氣的圓臉,往山上一指,說:“好記,好記!山顛一寺一壺酒,(3.14159)。爸爸今日心情甚好,可以開懷暢飲了。”祖沖之不禁仰天大笑,一來這些日子的辛苦總算有了個結果,二來小曬兒如此聰明,不怕事業後繼無人。那祖日桓後來真的成了我國歷史上有名的數學家。祖曬的那句玩笑還真的又引出了一段故事。且待下回分解。

《數理化通俗演義》